La Mesh: il Cuore Pulsante del Metodo agli Elementi Finiti
Il criterio fondamentale per la preparazione di ogni modello di calcolo, tenendo sempre a mente la metafora “garbage in, garbage out” risiede nella discretizzazione della struttura, detta anche mesh o griglia di calcolo.
Ma che cos’è la mesh? È l’insieme di geometrie primitive (mono-bi-tri dimensionali), che ci consentono di valutare una struttura passando da un modello continuo (la realtà) ad un modello discretizzato (elementi finiti), descrivendone il comportamento fisico-matematico mediante sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali e riducendo queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche.
La totalità di questi elementi costituisce il modello di calcolo discretizzato ed i suoi “gradi di libertà”, cioè tutte le possibili variabili generalmente calcolate nei vertici degli elementi, detti nodi, che ci permettono di valutare quanto sarà grande il sistema di equazioni da dover risolvere.
Geometrie, Macrocategorie e Modelli di Calcolo
Le tipologie di elementi finiti utilizzate in Kyma per la corretta rappresentazione delle strutture tipiche di un megayacht (che verranno analizzate dettagliatamente nel prossimo approfondimento, il n°4) si possono raggruppare in quattro macrocategorie.
Questa semplificazione serve all’analista FEM perché, anche in base alla fase preparatoria di defeaturing del modello di calcolo, potrà decidere la rappresentazione fisico-matematica migliore per ciascuna struttura per riuscire ad ottenere risultati realistici:
● Elementi Monodimensionali: si utilizzano principalmente per strutture aventi una dimensione caratteristica, generalmente la lunghezza, molto maggiore rispetto alle altre (larghezza e spessore). In base al tipo di analisi da sviluppare e al grado di precisione dei risultati che si vogliono ottenere, la libreria interna ai software MSC permette di utilizzare elementi monodimensionali a due, a tre o a quattro nodi. Ciascun nodo degli elementi monodimensionali possiede sei gradi di libertà (tre traslazioni e tre rotazioni).
● Elementi Bidimensionali: quando le strutture analizzate hanno due dimensioni caratteristiche, generalmente lunghezza e larghezza, molto maggiori rispetto alla terza (spessore), si possono utilizzare due differenti tipologie di elementi finiti, applicandoli sia singolarmente sia contemporaneamente all’interno del modello di calcolo:
- Elementi triangolari: grazie alla loro semplicità rappresentano storicamente la prima tipologia di elementi bidimensionali utilizzati. La libreria interna ai software permette di utilizzare elementi da tre a tredici nodi, la cui scelta è sempre legata alla tipologia di analisi da intraprendere.
- Elementi quadrangolari: evoluzione degli elementi triangolari, sono generalmente più affidabili e precisi. In questo caso si hanno a disposizione elementi da quattro a sedici nodi.
Gli elementi bidimensionali possiedono tipicamente cinque gradi di libertà per nodo e, all’occorrenza, è possibile richiedere al software l’utilizzo del sesto grado di libertà che rappresenta la rotazione nel piano dell’elemento (drilling).
● Elementi Tridimensionali: quando la struttura possiede dimensioni caratteristiche simili, vi è la necessità di rappresentare la sua geometria reale senza dover semplificare nessuna delle sue dimensioni principali. Per questa categoria di elementi che possiede tipicamente tre gradi di libertà per nodo, si possono utilizzare tre differenti tipologie di elementi finiti disponibili in libreria, applicandoli sia singolarmente sia contemporaneamente all’interno del modello di calcolo:
- Elementi tetraedrici (quattro facce): come per gli elementi bidimensionali triangolari, grazie alla loro semplicità rappresentano l’elemento finito più semplice per la discretizzazione di un dominio solido. La libreria interna ai software permette di utilizzare elementi da quattro a sedici nodi, la cui scelta è sempre legata alla tipologia di analisi da intraprendere.
- Elementi esaedrici (sei facce): sono la tipologia di elementi tridimensionali più affidabili e se ne raccomanda sempre l’utilizzo, anche nelle fasi preparatorie del modello di calcolo. Per questa categoria è disponibile un ventaglio di elementi che hanno da otto a sessantaquattro nodi.
- Elementi piramidali (cinque facce): similari agli elementi a quattro facce, vengono generalmente utilizzati come transizione tra gli elementi tetraedrici e quelli esaedrici. Per questa tipologia si possono usare elementi tra i sei e i cinquantadue nodi.
Nel caso in cui l’analista FEM abbia necessità di utilizzare singolarmente o contemporaneamente le categorie di elementi sopra citati nel rispetto della “congruenza della mesh”, potrà sapientemente scegliere quali sono le tipologie di elementi finiti che dovranno essere utilizzate per produrre risultati accurati.
La scelta sarà conseguente al tipo di simulazione da sviluppare ed alla libreria degli elementi finiti dei software a disposizione a cui è associata una matematica interna per ciascun elemento (elementi lineari, quadratici, etc.).
Inoltre, ciascuna categoria di elementi dispone di svariati algoritmi di generazione della griglia di calcolo, sia automatici sia manuali, in funzione della complessità geometrica da dover discretizzare.
Anche in questo caso la fase preparatoria del modello di calcolo dà risultati di fondamentale importanza: un bravo progettista, infatti, dovrà essere in grado, laddove possibile e compatibilmente con tempi e risorse di calcolo, di generare geometrie “mappabili”, che possano essere discretizzate prevalentemente con elementi quadrangolari (nel caso di superfici) o elementi esaedrici (nel caso di solidi).
● Elementi Speciali: Rientrano in questa categoria quegli elementi la cui matematica interna aiuta il progettista in situazioni particolari, come l’accoppiamento tra mesh non uniformi, il trasferimento di carico o di massa, l’assegnazione di condizioni al contorno etc.
In Kyma i principali elementi speciali utilizzati sono:
- Elementi R-type: in questa sottocategoria di elementi quelli maggiormente utilizzati sono l’RBE2 e l’RBE3;
- MPCs (Multi Point Constraints): tipicamente utilizzati per l’impostazione di contatti lineari;
- Connector: utilizzati principalmente per l’unione tra parti di struttura, sia saldata sia imbullonata.
Il Metodo di Calcolo FEM tra Insidie ed Opportunità
La potenza del Metodo agli Elementi Finiti (FEM) consiste nella semplificazione della realtà che ci circonda e nella sua scomposizione in piccole parti che permettono di calcolarne la soluzione approssimata (passaggio dal dominio continuo al dominio discreto).
Ma questo metodo nasconde delle insidie: una delle principali è la scelta delle dimensioni della mesh da utilizzare per la discretizzazione del modello strutturale. In teoria, e fatta eccezione per casi particolari, più le dimensioni della griglia di calcolo sono piccole e più i risultati saranno accurati e realistici.
L’analista FEM, infatti, deve sempre ricordare che minori sono le dimensioni degli elementi finiti utilizzati, maggiore sarà il numero di gradi di libertà del modello numerico. La diretta conseguenza di questo presupposto è il costo computazionale, cioè il tempo impiegato dal computer nel risolvere il sistema di equazioni che descrivono la matematica del modello di calcolo.
Il Test di Convergenza e le Tipologie di “meshatura”
In base alla tipologia e alle geometrie da sviluppare, in Kyma definiamo tre macrocategorie di “meshatura”. Le dimensioni di queste macrocategorie sono stabilite in base ai test di convergenza della mesh che dovranno sempre essere svolti in fase preliminare per definire il corretto bilanciamento tra accuratezza dei risultati e tempo necessario alla risoluzione dei calcoli.
Le tipologie di “meshatura” sono tre:
- Mesh Rada (coarse mesh): utilizzata principalmente per porzioni di yacht molto grandi (es: la valutazione del trave nave) e nelle fasi preliminari di sviluppo del modello di calcolo, dove è necessario diminuire il più possibile il tempo legato alla risoluzione del sistema di equazioni. Per realizzare questo tipo di griglia di calcolo, la struttura viene spogliata della quasi totalità di dettagli strutturali.
- Mesh Standard (standard mesh): utilizzata principalmente per la validazione strutturale (strength assessment) dei modelli di calcolo medio-piccoli (es: i compartimenti strutturali), rappresenta il giusto compromesso tra accuratezza e velocità di calcolo.
- Mesh Fitta (fine mesh): utilizzata quasi esclusivamente nei modelli di dettaglio, riesce ad indagare con estrema precisione eventuali porzioni strutturali ritenute critiche e potenzialmente soggette a rotture. Dato il numero ingente di elementi finiti necessari per la corretta discretizzazione delle geometrie da analizzare, per non generare tempi di calcolo molto lunghi, viene utilizzata su modelli strutturali piccoli oppure su particolari zone di modelli più estesi (zoom strutturali) su cui si vuole indagare in modo più approfondito la risposta della struttura.
Mesh e Griglia di Calcolo: Strumenti ed Analisi per Risultati Realistici
La costruzione della mesh riveste un ruolo principale, insieme alla fase preparatoria di defeaturing, per l’ottenimento di risultati realistici.
Un bravo progettista deve essere in grado, in base alla tipologia di modello di calcolo da sviluppare e compatibilmente con le risorse computazionali a disposizione, di stabilire:
- quale sia la tipologia di elementi finiti che meglio rappresenta dal punto di vista fisico-matematico la struttura;
- la dimensione della griglia di calcolo più corretta da applicare per ottenere risultati corretti.
L’analisi e l’organizzazione del lavoro seguita in Kyma lungo tutto il percorso di calcolo FEM permettono di ottimizzare ogni singolo passaggio, ampliandone il raggio ed amplificandone tutte le potenzialità.
